DOI: https://doi.org/10.20535/1810-0546.2015.4.50515

### Характеризація розв’язків крайових задач для модельного рівняння Фоккера−Планка−Колмогорова нормального марковського процесу

Степан Дмитрович Івасишен, Наталія Іванівна Турчина

#### Abstract

Background. The known Е-І approach by S.D. Eidelman and S.D. Ivasyshen allowed to characterize wide classes of solutions for parabolic equations with limited coefficients, in particular, to describe their ranges of initial values, to get the integral representation and to find out in what sense the initial conditions are met; if the coefficients of equations, as functions of x, can grow without limit at infinity, then these results do not almost exist.

Objective. The purpose is to consider Dirichlet and Neumann problems in the half-space, in which the boundary conditions are homogeneous, as initial values belong to a special weighted $\Phi _{p}^{a}$ paces of functions or generalized measures for a homogeneous model Fokker-Planck-Kolmogorov equation of normal markovian process, that contains growing coefficients and to implement Е-І approach for such problems solutions.

Methods. The method modification, which was used for equations with limited coefficients, based on a detailed studying of the Poisson operators properties, generated by Green's functions of corresponding problems.

Results. The correct solvability and the integral representation are established by using Poisson operators of the solutions of such problems. Boundary value problems are investigated in the families of weight Lp-spaces of functions increasing exponentially as $\left | x \right |\rightarrow \infty.$ These functions have the maximum exponent of growth 2 and the type depend on t. It was also clarified in what sense the solutions satisfy those initial conditions. Considered classes of solutions are characterized as the range of the Poisson operators defined on the spaces $\Phi _{p}^{a}.$

Conclusions. The article results show, how the presence in the equation of members with growing coefficients is manifested. They allow predicting similar results for more general boundary value problems and identify ways to obtain them.

#### Keywords

Fokker–Plank–Kolmogorov equation of normal markovian process; Dirichlet and Neumann problems; Green's function; Poisson operator; Correct solvability; Integral representation; Weight Lp-spaces; Solutions characte-rizition

PDF (Українська)

#### References

S.D. Ivasyshen, “Solutions of parabolic equations in time-dependent families of Banach spaces”, Matematychni Studii, vol. 40, no. 2, pp. 172–181, 2013 (in Ukrainian).

S.D. Ivasyshen and O.S. Kondur, “On integral representations of solutions for normal parabolic boundary problems”, Integralni Peretvorennia ta Ich Zastosuvannia do Kraiovych Zadach, vol. 4, pp. 82–96, 1993 (in Ukrainian).

O.S. Kondur, “Normalparabolic boundary problems with discontinuous coefficients”, Dopovidi AN Ukr., no. 12, pp. 18–22, 1994 (in Ukrainian).

A.T. Barucha-Reid, Elements of the Theory of Markov Processes and their Applications.Moscow,Russia: Nauka, 1996, 511 p. (in Russian).

V.I. Tikhonov and N.K. Kuhlman, Nonlinear Filtering and Quasi-Coherent Reception of Signals.Moscow,USSR: Sovetskoe Radio, 1975, 704 p. (in Russian).

V.I. Tikhonov and M.A. Mironov, Markov Processes.Moscow,USSR: Sovetskoe Radio, 1977, 488 p. (in Russian).

T.S. Zabolotko et al., “The fundamental solution of the Cauchy problem for some parabolic equations with increasing coefficients and some of its applications”, Naukovy Visnyk Chernivetskogo Natsionalnogo Universytetu Fedkovycha, Ser. Matematyka, vol. 2, № 2-3, pp. 81–89, 2012 (in Ukrainian).

N.I. Turchyna and S.D. Ivasyshen, “Green vector function of boundary value problems for the model of the Fokker-Plank-Kolmogorov normal Markov process”, Bukovynskyi Matematychnyi Zhurnal, vol. 2, no. 1, pp. 118–125, 2014 (in Ukrainian).

S.D. Eidelman et al., Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Eqations of Parabolic Type Operator Theory (Adv. And Appl. Vol. 152). Basel: Birkhäuser, 2004, 390 p.

#### GOST Style Citations

1. Івасишен С.Д. Розв’язки параболічних рівнянь із сімейств банахових просторів, залежних від часу // Мат. студії. – 2013. – 40, № 2. – С. 172–181.

2. Івасишен С.Д., Кондур О.С. Про інтегральне зображення розв’язків нормальних параболічних крайових задач // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. – К.: Ін-т математики АН України, 1993. – Вип. 4. – С. 82–96.

3. Кондур О.С. Нормальні параболічні крайові задачі для систем з розривними коефіцієнтами // Доп. АН України. – 1994. – № 12. – С. 18–22.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Наука, 1969. – 511 с.

5. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. – М.: Сов. радио, 1975. – 704 с.

6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Сов. радио, 1977. – 488 с.

7. Заболотько Т.О., Івасишен С.Д., Пасічник Г.С. Про фундаментальний розв’язок задачі Коші для деяких параболічних рівнянь зі зростаючими коефіцієнтами та деякі його застосування // Наук. вісник Чернівецького нац. ун-ту ім. Ю. Федьковича. Сер. Математика. – 2012. – 2, № 2-3. – С. 81–89.

8. Турчина Н.І., Івасишен С.Д. Вектор-функції Гріна крайових задач для модельного рівняння Фоккера−План­ка−Колмогорова нормального марковського процесу // Буковинський мат. журн. – 2014. – 2, № 1. – С. 118−125.

9. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudodifferential Equations of Parabolic Type. – Basel: Birkhäuser, 2004. – 390 p. – (Operator Theory: Adv. and Appl. Vol. 152).