The Application of the Essentially Infinite-Dimensional Elliptic Operator to Functions f(x,u(x)) and f(x,u_1(x),...,u_m(x))

Віталій Михайлович Статкевич

Abstract


Background. We consider the essentially infinite-dimensional elliptic operator (of the Laplace–Lévу type) (Lu)(x)=j(u′′(x))/2, proposed by Yu.V. Bogdansky (1977), for functions on the infinite-dimensional sepa­rable real Hilbert space H. This operator doesn’t have finite-dimensional analogues. It possesses the Leibniz property and vanishes on the cylindrical functions, being the second-order differential operator. The differen­tiation rules of the composite function f(u_1(x),...,u_m(x)) for the Laplace–Lévу operator and its modificati­ons were obtained by P. Lévу, E.M. Polishchuk, G.E. Shilov, I.Ya. Dorfman and V.Ya. Sikiryavyi. The dif­ferent rule was obtained by Yu.V. Bogdansky and Ya.Yu. Sanzharevsky for the Laplacian with respect to a measure in case of Gaussian measure.

Objective. The objective is to obtain the rules of application the essentially infinite-dimensional elliptic operator to com­posite functions f(x,u(x))  and f(x,u_1(x),...,u_m(x)).

Methods. We use the semigroup theory techniques and the generalized Stone–Weierstrass theorem.

Results. We prove the rules of application the essentially infinite-dimensional elliptic operator to composite functions f(x,u(x)) and f(x,u_1(x),...,u_m(x)). We also prove the similar rule for the essentially infinite-dimensional elliptic operator in bounded L-convex domains in the space H.

Conclusions. The results obtained in the paper generalize the known results for the Laplace–Lévу operator and its modifications. They are also similar to the classical differentiation of the composite function. The results can be used in further investigations of essentially infinite-dimensional equations.

Keywords


Infinite-dimensional space; Laplace–Lévу operator; Essentially infinite-dimensional ellip¬tic operator; Composite function

References


P. Lévy, Concrete Problems of Functional Analysis. Moscow,USSR: Nauka, 1967, 512 p. (in Russian).

M.N. Feller, The Lévy Laplacian.Cambridge:Cambridge University Press, 2005 (http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511543029).

E.M. Polishchuk, “Linear equations in functional Laplacians”, Uspehi Matematicheskih Nauk., vol. 19, no. 2(116), pp. 163–170, 1964 (in Russian).

G.E. Shilov, “On some problems in analysis on a Hilbert space. I”, Funkcional'nyj Analiz i Ego Prilozhenija, vol. 1, no. 2, pp. 81–90, 1967 (in Russian).

I.Ya. Dorfman, “On means and Laplacian of functions on a Hilbert space”, Matematicheskij Sbornik, vol. 81, no. 2, pp. 192–208, 1970 (in Russian).

V.Ya. Sikiryavyi, “Operator of quasi-differentiation and connected with it boundary-value problems”, Trudy Moskovskogo Mat. Obshhestva., vol. 27, pp. 195–246, 1972 (in Russian).

Yu.V. Bogdansky and Ya.Yu. Sanzharevsky, “Laplacian with respect to a Gaussian measure and ergodic theorem”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 67, no. 10, 2015 (in Russian).

Yu.V. Bogdansky, “Cauchy problem for parabolic equations with essentially infinite-dimensional elliptic operators”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 29, no. 6, pp. 781–784, 1977 (in Russian).

Yu.V. Bogdansky, “Cauchy problem for heat equation with non-regular elliptic opera­tor”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 41, no. 5, pp. 584–590, 1989 (in Russian).

Yu.V. Bogdansky, “Dirichlet problem for Poisson equation with essentially infinite-dimensional elliptic operator”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 46, no. 7, pp. 803–808, 1994 (in Russian).

Yu.V. Bogdansky and V.M. Statkevych, “Nonlinear equations with essentially infinite-dimensional differential operators”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 62, no. 11, pp. 1571–1576, 2010 (in Ukrainian).

V.M. Statkevych, “Systems of essentially infinite-dimensional differential equations”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 63, no. 9, pp. 1257–1262, 2011 (in Ukrainian).

J. Dieudonné, Foundations of Modern Analysis.Moscow,USSR: Mir, 1964, 430 p. (in Russian).

V.M. Statkevych, “On one boundary-value problem with essentially-infinite dimen­sional operator”, Spectral and Evolution Problems, vol. 20, pp. 189–192, 2010 (in Russian).

V.M. Statkevych, “Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator”, Ukr. Mat. Zhurnal, vol. 64, no. 2, pp. 229–236, 2012 (in Ukrainian).


GOST Style Citations


  1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.

  2. Feller M.N. The Lévy Laplacian. – Cambridge: Cambridge University Press, 2005. – 153 p. (http://dx.doi.org/10.1017/ CBO9780511543029).

  3. Полищук Е.М. Линейные уравнения в функциональных лапласианах // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, вып. 2 (116). – C. 163–170.

  4. Шилов Г.Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. I // Функц. анализ и его прил. – 1967. – 1, вып. 2. – С. 81–90.

  5. Дорфман И.Я. О средних и лапласиане функций на гильбертовом пространстве // Мат. сб. – 1970. – 81, № 2. – С. 192–208.

  6. Сикирявый В.Я. Оператор квазидифференцирования и связанные с ним краевые задачи // Труды Москов. мат. общества. – 1972. – 27. – С. 195–246.

  7. Богданский Ю.В., Санжаревский Я.Ю. Лапласиан по гауссовской мере и эргодическая теорема // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 10.

  8. Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллиптическими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781–784.

  9. Богданский Ю.В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с нерегуляр­ным эллиптическим оператором // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 5. – С. 584–590.

  10. Богданский Ю.В. Задача Дирихле для уравнения Пуассона с существенно бес­конечномерным эллиптическим оператором // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 7. – С. 803–808.

  11. Богданський Ю.В., Статкевич В.М. Нелінійні рівняння з суттєво нескінченно­вимірними диференціальними операторами // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 11. – С. 1571–1576.

  12. Статкевич В.М. Системи суттєво нескінченновимірних диференціальних рів­нянь // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1257–1262.

  13. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. – М.: Мир, 1964. – 430 с.

  14. Статкевич В.М. Об одной краевой задаче с существенно бесконечномерным оператором // Spectral and Evolution Problems. – Simferopol, 2010. – 20. – P. 189–192.

  15. Статкевич В.М. Дослідження розв’язків крайових задач з суттєво нескінчен­новимірним еліптичним оператором // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 229–236.




DOI: https://doi.org/10.20535/1810-0546.2015.4.50508

Refbacks

  • There are currently no refbacks.


Copyright (c) 2017 NTUU KPI